მათემატიკა რიცხვებზე

                                

                                         არითმეტიკის ისტორია

 დიდია მათემატიკის მნიშვნელობა ყოველდღიურ ცხოვრებაში. წარმოუდგენელია საზოგადოების განვითარება ანგარიშისა მათემატიკური მოქმედებების ცოდნის გარეშე. არითმეტიკა სწორედ ადამიანთა შრომით საქმიანობაში სხვადასხვა ცხოვრებისეული გამოთვლებისთვის აღმოცეენდა. იგი ძალიან ნელა და დიდხანს ვითარდებოდა. უხსოვარი დროიდან ადამიანს სჭირდებოდა ყოველდღიურ ცხოვრებაში სხვადსხვა საგანთა დათვლა, იყო დრო, როცა ადამიანმა  მხოლოდ ორამდე იცოდა თვლა. თანდათანობით ადამიანმა ისწავლა თვლა სამამდე, ხუთამდე, ათამდე და ა. შ.

     არითმეტიკა შეისწავლის რიცხვთა უმარტივეს თვისებებს და მოქმედებებს  მათზე. თავიდან არითმეტიკა მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს განიხილავდა. არითმეტიკის წარმოქმნა და განვითარება დაკავშირებულია ადამიანთა შრომით საქმიანობასა და საზოგადოების განვითარებასთან.

    ცნობილია, რომ ჩვენ ვითვლით ათობით: ათი ერთეული ქმნის ერთ ათეულს, ათი ათეული კი  ერთ ასეულს და ა. შ. ათვლის ასეთ სისტემას ათობითი სისტემა ეწოდება.რიცხვი ათი ათვლის ათობითი სისტემის საფუძველს წარმოადგენს. მაგრამ, რატომ ვითვლით მაინცდამაინც ათობით? ადამიანი საზოგადოების განვითარების პირველ სფეხურებზე ითვლიდა ხელის ათი თითის საშუალებით. მაგრამ იყო ტომები აფრიკაში, რომლებიც თვლისას მხოლოდ 5 თითს იყენებდნ. მათ გამოუმუშავდათ ათვლის ხუთობითი სისტემა, სადაც საფუძველს ციფრი 5 წარმოადგენს. ხუთობითი სისტემის ნაშთები შემორჩენილია სკანდინავიურ ენებში. ათვლის სისტემებიდან უძველესია ორობითი სისტემა, რომლითაც სარგებლობდნენ ძველი ეგვიბტელები. არის შემორჩენილი ათვლის ოცობითი სისტემის ნაშთები, მაგალითად ქართულსა (ორმოცი, სამოცი, ...) და ფრანგულ ენებში. ძველ ბაბილონში სარგებლობდნენ 60-ობით სისტემით. ახლა თითქმის მთელი მსოფლიო სარგებლობს ათვლის ათობითი სისტემით. ათობით სისტემაში ყველა ნატურალური რიცხვის სახელი 999 მილიონამდე იწარმოება მხოლოდ 13 სიტყვის მეშვეობით: ერთი, ორი, სამი, ოთხი, ხუთი, ექვსი,  შვიდი, რვა, ცხრა, ათი, ასი, ათასი, მილიონი. რაც არ უნდა დიდი იყოს რიცხვი, მისი ჩაწერა ხდება მხოლოდდ 10 ციფრის საშუალებით: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. თანამედროვე ციფრები მუშავდებოდა საუკუნეების მანძილზე. ციფრთა მოხაზულობა ვითარდებოდა დამწერლობის პარალელურად. რიცხვების დასამახსოვრებლად ადამიანები იყენებდნენ ჭრილებს ხეებზე, ან ნასკვებს თოკზე.

შემ დეგ ერთი გამოსახეს ერთი ხაზით, 2- ორი ხაზით და ა. შ. ასეთი ციფრების ნიმუშები შემორჩენილია რომაულ სისტემაში: I, II,III,... წარმოებისა და კულტურის განვითარებასთან ერთად წარმოიშვა აუცილებლობა  დიდი რიცხვების ჩაწერისა,  ხაზებით სარგებლობა შე უძლებელი იყო, ამიტომ შემოღებულ იქნა განსაკუთრებული ნიშნები ცალკეულ რიცხვთათვის. ყოველი რიცხვი გამ ოისახებოდა გარკვეული ნიშნით, ანუ იეროგლიფით. მაგალითად ასე  გამოიყურება ჩინური იეროგლიფური ციფრები 

     4000 წლის წინათ გამოიყენებოდა ასეთი იეროგლიფები:  

   იყო დრო, როცა რიცხვების ჩასაწერად იყენებდნენ ასოებს. ყველასთვის ცნობილია რომაული ციფრები:

              I        V        X       L         D        M 

        1         5       10       50     500     1000

  ციფრები, რომლითაც ვსარგებლობთ 1500 წლის წინათ წარმოიშვა ინდოეთში. მრავალი საუკუნეების მანძილზე ვითარდებოდა ინდური ციფრები, სანამ მათ თანამედროვე სახე მიიღეს. არაბებმა ინდოელებისაგან გადმოიღეს ციფრები და ათობითი სისტემა, ხოლო ევროპელებმა  არაბებისგან. ამიტომაა რომ მათ არაბულს ვუწოდებთ  ინდურის ნაცვლად. ეს ციფრები ჩვენთან XVII საუკუნიდან გამოიყენება, რომაული ციფრები კი განსაკუთრებულ შემთხვევებში გამოიყენება.

      უძველესი დროიდან ადამიანი ქმნიდა სხვადასხვა საშუალებებსა და ხელსაწყოებს თვლის გასაადვილებლად. პირველ  გამოთვლით მანქანას წარმოადგენდა ფეხისა და ხელის თითები. შემდეგ ვაჭრები გამოთვლებს აწამოებდნენ მარცვლეულის, ქვების ,ან ნიჟარების საშუალებით. მათ სპეციალურ დაფაზე ალაგებდნენ. ეს დაფა შემდეგ რომაელებმა და ბერძნებმა უფრო განავითარეს და გახადეს მთვლელი  დაფა, თანამედროვე საანგარიშეს მსგავსად.  ასე შეიქმნა  პირველი სათვლელი მოწყობილობა  საანგარიშო ანუ აბაკი. უძველეს გამომთვლელ ხელსაწყოს  წარმოადგენს ჩინური საანგარიშო სუან  პანი. რუსული საანგარიშე  XVI საუკუნიდან გამოიყენება. შემდეგ შეიქმნა არითმომეტრი, მცირე გამომთვლელი მანქანები. ამჟამად მეცნიერებასა ტექნიკას საქმე აქვს ძალიან დიდ ციფრებთან და ურთულეს გამოთვლებთან. ამ შექმნილია თანამედროვე ელექტრონული მანქანები  კომპიუტერები.

     XVIII საუკუნის დასაწყისში პეტრე I-ის ბრძანებით გაიხსნა მათემატიკური სკოლა, რომელსაც უნდა მოემზადებინა კადრები ფლოტისთვის. ერთადერთი მასწავლებელი ამ სკოლის იყო მაგნიცკი. 1703 წელს მან შეადგინა სახელმძღვანელო, რომელიც იმ დროისთვის მათემატიკურ ენციკლოპედიას წარმოადგენდა.

    XVI საუკუნის ბოლოს ფრანგმა მათემატიკოსმა ვიეტმა შემოიღო ასოებით აღნიშვნა, არა მარტო უცნობი სიდიდეების, არამედ რიცხვებისაც. ეს იყო ნაბიჯი გადასვლისა სიმბოლურ ალგებრაზე. ალგებრული სიმბოლიკის შემოტანა დასრულდა XVII საუკუნეში. შემდგომი საუკუნის პირველ ნახევარში დადგინდა ნიშნეების საერთაშორისო სისტემა ალგებრაში. პრაქტიკულ არითმეტიკას თანდათან გამოეყო თეორიული არითმეტიკა, რომელიც არა მარტო წესებისაგან შედგებოდა , არამედ წესების ლოგიკურ დასაბუთებას, დამტკიცებასაც შეიცავდა.

     არითმეტიკის განვითარებაში დიდი მნიშვნელობა ჰქონდა პითაგორას, ევკლიდეს, ერასტოფენის,არქიმედეს და სხვა ძველი ბერძენი მათემატიკოსების შრომებს.

   ასევე  დიდი წვლილი შეიტანეს არითმეტიკის განვითარებაში ისლამის ქვეყნის წარმომადგენლებმაც: ალ  ხორეზმიმ, ომარ ხაიამმა და სხვაებმა.

    1202 წელს გამოჩნდა იტალიელი მათემატიკოსის ლეონარდო პიზანსკის (ფიბონაჩი)ხაბაკას წიგნი XVI საუკუნიდან მათემატიკური შემოქმედების პირველ ადგილზე  უკვე ევროპელი მეცნიერები გამოდიან.

     დიდია არითმეტიკის როლი თანამედროვე საზოგადოების ცხოვრებაში. არითმეტიკა საჭიროა მეცნიერების ყველა დარგში, სოფლის მეურნეობაში, მრეწველობასა და ტექნიკაში. თეორიული არითმეტიკის განვითარება, გამოთვლების მეთოდების სრულყოფა გრძელდება დღემდე.

                               
                                       ნუმერაცია

          ჩვენი დროის ნუმერაცია ყველასათვის ცნობილია. რიცხვების ჩასაწერად ვიყენებთ ცხრა ნიშანს,რომელსაც ციფრები ეწოდება. 1,2,3,4,5,6,7,8,9 რიცხვებს აღნიშნავენ.მეათე ნიშანი 0 არ აღნიშნავს არანაირ რიცხვს. ათი უბრალო ერთეული ქმნის ერთ ათეულს ანუ მეორე თანრიგის ერთ ერთეულს. ათი ერთეული მეორე თანრიგის ქმნის მესამე თანრიგის ერთეულს.რიცხვი,რომელიც შედგება ორიასეული სამი ათეული და ხუთი ერთეულისგან ჩაიწერება: 235. უკიდურეს მარჯვნივ ერთეულები იწერება,მარცხნივ ათეულები და უფრო მარცხნივ ასეულები. თუ რომელიმე თანრიგის ერთეულები გამოტოვებულია, მაშინ მათ შესაბამის ადგილებში იწერება ნულები.
         ყოველი სამი თანრიგი შეადგენს კლასს უბრალო ერთეულები, ათეულები და  ასეულები შეადგენს პირველ კლასს. ათასეულები,ათი ათასეულები და ასი ათასეულები - მეორე კლასს და ა. შ. ხშირად დიდი რიცხვების ჩაწერის დროს კლასებს შუალედით გამოყოფენ. მაგ. 25  750. თანამედროვე მეცნიერებაში მოუხერხებლობას ვაწყდებით ათობით თვლის სისტემაში დიდი რიცხვების ჩაწერის დროს. ასეთი რიცხვების ჩანაწერი იკავებს დიდ ადგილს და ნაკლებად თვალსაჩინოა. მაგ. 1) დედამიწის ზედაპირი შეადგენს 509 000 000 კვადრატულ კილომეტრს 2)  მანძილი მზიდან დედამიწამდე 149 500 000 კმ    3) დედამიწის მასა 6 000 000 000 000 000 000 000 ტონა. თუ დაგვჭირდა დედამიწიდან უშორეს ვარსკვლავამდე მანძილის ჩაწერა ან ერთ ლიტრ წყალში მოლეკულების რიცხვის ჩაწერა,ალბათ სტრიქონის დიდი სიგრძის მონაკვეთი დაგვჭირდება. ჩანაწერის ამ სირთულეების დაძლევა შეიძლება, რაც თვლის თანამედროვე სისტემას მოხერხებულს ხდის.
           ჩვენს დროში ყველა ერები რიცხვებს ერთნაირად ჩაწერენ, მაგრამ სხვადასხვა დასახელებას აძლევენ. "მილიონი", რაც ათასი ათასს აღნიშნავს, არც თუ ისე ძველი წარმოშობისაა. ამ რიცხვის სახელი იტალიელმა მოგზაურმა მარკო პოლომ გამოიგონა. იტალიურად " მილე " აღნიშნავს ათასს, ხოლო "ონე" გადიდებლ დაბოლოებას. მილიონები,ათი და ასი მილიონები წარმოადგენს რიცხვების მესამე კლასს. ათასი მილიონი აღნიშნავს ერთ მილიარდს,რომელსაც " ბილიონებს "უწოდებენ.  ათეული და ასეული ბილიონები წარმოადგენს რიცხვთა მეოთხე კლასს. მაგ. დიდი რიცხვის 305 674 011 316 წაკითხვა ასე შეიძლება: სამას ხუთი მილიარდ ექვსას სამოცდა თოთხმეტი მილიონ თერთმეტი ათას სამას თექვსმეტი.
             მეხუთე კლასის ერთეულს ტრილიონს უწოდებენ.მაგ. 1 000 000 000 000 ტრილიონი, მეექვსე კლასი. რომლის ერთეულს კვადრილიონს უწოდებენ. მაგ. 1 000 000 000 000 000 კვადრილიონი. შემდეგია 1 000 000 000 000 000 000 კვინტილიონი, 1 000 000 000  000 000 000 000 სექსტილიონი, 1 000 000 000 000 000 000 000 000 სეპტილიონო და ა.შ.
ძალიან დიდი რიცხვების ჩაწერისას გამოიყენებენ ხარისხის მაჩვენებლებს. მეორე ხარისხს კვადრატს უწოდებენ,მესამე ხარისხს - კუბს, 509 000 000 = 509. 10 ⁶

ასტრონომიულად დიდი რიცხვების გვერდით ვხვდებით ჯუჯა რიცხვებსაც, რომლებიც აღნიშნავენ უმცირეს რაოდენობას, გამოსახავენ წილადი რიცხვებით, რომლებსაც ძალიან დიდი მნიშვნელი აქვს,მრიცხველი კი არც თუ ისე დიდი.განვიხილოთ მაგალითი : ადამიანის სისხლის ერიცროციტების ზომა 0,0007 სმ. წყალბადის ატომის წონა 165. 10 ^{- 26 გრ.}                      

                ნატურალური რიცხვები

თვლის შედეგად მიღებული რიცხვებია. ნატურალური რიცხვების სიმრავლე N-ით აღინიშნება. ე.ი. N={1;2;3;4;5…….}

                                                         ^{მარტივი და შედგენილი რიცხვები}

ნატურალურ რიცხვს ეწოდება მარტივი, თუ მას მხოლოდ ორი გამყოფი(თავის თავი და ერთი) აქვს, ხოლო შედგენილი, თუ ორზე მეტი გამყოფი აქვს.

ერთ რიცხვს მეორეს გამყოფი ეწოდება თ იგი მას ჰყოფს უნაშთოდ. ნებისმერ რიცხვს გააჩნია სასრული რაოდენობის გამყოფები. მაგალითისათვის ავიღოთ 6, მისი გამყოფებია 1,2,3 და 6.

ნებისმიერი რიცხვი იყოფა ერთზე ე.ი. ნებისმიერ რიცხვს გააჩნია არანაკლებ ორი გამყოფისა.ე.ი. შეგვიძლია რიცხვები გავყოთ ორ ჯგუფად. მარტივ და შედგენილ რიცხვებად. მაგალითად მარტივი რიცხვებია 2,3,5,7,11 და 13. ხოლო შედგენილი 4,6,8,9,10,12 და ა.შ. ე.ი. მარტივი ეწოდება რიცხვს რომელსაც გააჩნია არაუმეტეს ორი გამყოფისა, ხოლო შედგენილი თუ გააჩნია ორზე მეტი გამყოფი.

ბერძენმა მეცნიერმა ,,ერატოსთენემ'' რომელიც ცხოვრობდა 23 საუკუნის წინ, შეადგინა მარტივ რიცხვთა ცხრილი, ეგრეთ წოდებული ერატოსთენეს საცერი. იგი საშუალებას იძლევა გავაცალკავოთ ერთმანეთისგან მარტივი და შედგენილი რიცხვები.

ბერძენი მეცნიერის ერატოსთენეს მეთოდით ვიპოვოთ მარტივ რიცხვთა ცხრილი 1–იდან 1000–მდე. ამისათვის ამოვწეროთ რიცხვები 1 –დან 1000 –მდე, 1 ამოვსალოთ რად გან არც მარტივია არც შედგენილი. შემდეგ მოდის 2 ის მარტივის ჩავსვათ რგოლში. შემდეგ ამოვშალოთ ყველა ორის ჯერადი რიცხვი. . შემდეგ მოდის 3 ისიც მარტივია , ჩავსვათ რგოლში , სემდეგ ამოვშალოთ 3–ის ჯერადი ყველა რიცხვი . მერე მოდის 5 ისიც მარტივია და ასე შემდეგ ბოლოს დაგვრჩება რგოლში ჩასმოლი მარტივი რიცხვები. ამ ცხრილს ეწოდება ერატოსთენეს ცხრილი. ბერძენი სწავლული თაფლის სანთლის დაფაზე აკეთებდა ამას , ის წაშლის ნაცვლად ჩხირით ჩხვლეტდა დაფას ,აქედან ეწოდა საცერი.

მარტიცი რიცხვები ის აგურებია ,რომელთა მეშვეობითაც , გამრავლების გამოყენებით, შეიძლება ავაშენოთ ყველა დანარჩენი რიცხვი.

ორ ნატურალურ რიცხვს ეწოდება ურთიერთ მარტივი თუ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი 1–ის ტოლია.

ნატურალური რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება მათ საერთო გამყოფებს შორის უდიდესს.

ნატურალურ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ეწოდება მათ საერთო ჯერადთა შორის უმცირესს.

მთელი რიცხვები (ლათინურიდან integer, ანუ „ხელშეუხებელი“) — ნატურალური რიცხვები (1, 2, 3, …), მათი მოპირდაპირე (უარყოფითი) რიცხვები (−1, −2, −3, …) და 0. მთელი რიცხვების სიმრავლე ნამდვილი რიცხვების სიმრავლის ქვესიმრავლეა. მთელი რიცხვები ისეთი რიცხვებია, რომელთა ჩაწერა წილადებისა და ათწილადების გარეშეა შესაძლებელი. მაგალითად, 65, 7 და −756 მთელი რიცხვებია; 1,6 და 1½ კი არაა მთელი. მთელი რიცხვების სიმრავლე ხშირად მუქი Z-ით ან ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-ით (უნიკოდში U+2124 ℤ) აღინიშნება. Z={… −2, −1, 0, 1, 2, …}. ასო Z გერმანულიდან Zahlen-იდან („რიცხვები“) მომდინარეობს^[1].

ნატურალური რიცხვების მსგავსად, მთელი რიცხვები უსარულო თვლად სიმრავლეს ქმნიან.

მთელ რიცხვებზე წარმოდგენას გვიქმნის რიცხვით ღერძზე განლაგებული თანაბრად დაშორებული წერტილები.

ალგებრული რიცხვების თეორიაში მთელი რიცხვები რაციონალური რიცხვების ველში მოიაზრება და მათ რაციონალური მთელი რიცხვები ეწოდება, რათა ალგებრული მთელი რიცხვებისგან განვასხვავოთ.

                               უდიდესი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი

n ნატურალური რიცხვის გამყოფი ეწოდება ისეთ m ნატურალურ რიცხვს, რომელზედაც n იყოფა უნაშთოდ.

დავშალოთ რიცხვი მარტივ მამრავლებად:

რიცხვი იყოფა უმცირესს მარტივ გამყოფზე, მომდევნოც იგივე პრინციპით და ა.შ. ვიდრე არ მივიღებთ 1-ს. 420:2=210, 210:2=105, 105:3=35, 35:5=7, 7:7=1. მარტივ მამრავლებად დაშლის ალგორითმი უნდა ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

სადაც, ვერტიკალური ხაზის მარჯვნივ გვაქვს საძიებელი მარტივი მამრავლები. ამრიგად დაშლას ექნება სახე: 420=2*2*3*5*7

რამდენიმე ნატურალური რიცხვის საერთო გამყოფი ეწოდება რიცხვს, რომელიც თითოეულ მათგანის გამყოფს წარმოადგენს.

m, n … k ნატურალური რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება მათ საერთო გამყოფებს შორის უდიდესს და D(m, n … k) სიმბოლოთი აღინიშნება. მაგალითად გამოვთვალოთ 36-სა და 24-ს საერთო უდიდესი გამოყოფილი:

უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად საჭიროა ეს რიცხვები დავშალოთ მარტივ მამრავლებად

ე.ი. 24 = 2*2*2*3, ხოლო 36=2*2*3*3, ამიტომ D(24, 36)=2*2*3=12. ასე იმიტომ რომ საერთო გამყოფებში ორივეში ერთად რიცხვი 2 ორჯერმეორდება ხოლო 3 ერთხელ.

ორ ნატურალურ რიცხვს ეწოდება ურთიერთ მარტივი თუ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი 1-ს ტოლია.

n ნატურალური რიცხვის ჯერადი ეწოდება ისეთ m ნატურალურ რიცხვს, რომელიც n-ზე იყოფა უნაშთოდ.

მაგალითად 18-ის, 24-ისა და 36-ის საერთო ჯერადებია: 72, 144, 216…

m, n, … k, ნატურალური რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ეწოდება მათ საერთო ჯერადთა შორის უმცირესს და K=(m, n, .. k) სიმბოლოთი აღინიშნება.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შემდეგნაირად ხდება:

დავშალოთ რიცხვი მარტივ მამრავლებად. შემდეგ ამ მამრავლების ნამრავლს მივუწეროთ შემდეგი რიცხვის ის მამრავლები, რომლებიც არ შედიან არსებულ მამრავლებში, შემდეგ მესამე და ა.შ. მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამოწერილი მამრავლების ნამრავლს.

შევნიშნოთ, რომ თუ m, n ϵ N , მაშინ

D(m, n)* K(m, n) = m*n

                            მეგობრული და სრულყოფილი რიცხვები.

ცნობილ ბერძენ ფილოსოფოსსა და მათემატიკოს პითაგორა სამოსელს (ჩვ.წ–მდე 570– დაახლ.500წწ) ეკუთვნის ცნობილი გამონათქვამი: ,,ჩემი მეგობარია ის , ვინც არის ჩემი მეორე მე, როგორც რიცხვები 220 და 284''.
პითაგორა ამ რიცხვებს შემდეგი თვისებით აფასებდა: პირველი რიცხვის გამყოფების ჯამი უდრის ნეორე რიცხვის და პირიქით. ასეთ რიცხვებს მეგობრული რიცხვები ეწოდება.
284= 1+2+4+5+10+11+20+22+40+44+55+110
220=1+2+4+71+142
არაბმა მათემატიკოსმა იბნ კურამ(826–901), შეიმუშავა წესი მეგობრული რიცხვების წყვილის პოვნის , მაგრამ იგი დიდხანს უცნობი იყო სხვებისთვის. შემდეგ იბნ ალ–ბანიმ (1256–1321)აღმოაჩინა ახალი წყვილი :17296 და 18416. 1636 წ ხელახლა აღმოაჩინა პიერ ფერმა ახალი წყვილი. 1963 წ ფრანგმა მათემატიკოსმა და ფილოსოფოსმა რენე დეკარტმა იპოვა ახალი წყვილი : 9 363 584 და 9 437 056დეკარტის შემდეგ ახალი შედეგი მიიღო ლეონარდ ეილერმა.
რაც შეეხება ეილერს მან აღმოაჩინა 39 წყვილი, რომელთა შორის პირველად აღმოჩნდა კენტი მეგობრული რიცხვების წყვილი. 3*3*7*13*101 და 3*3*3*3*5*11*2699.
დღეისთვის ნაპოვნია მეგობრული რიცხვების 1100 წყვილი და გამოკვლევები უკვე ელექტრონული გამომთვლელი მანქანების მეშვეობით გრძელდება.
ძველი ბერძენი მათემატიკოსები სრულყოფილ რიცხვებს უწოდებდნენ, რიცხვებს, რომლებიც ტოლია ყველა საკუთარი გამოყოფის ჯამის .

6–ის გამყოფებია 1,2,3,6 უდნა შევკრიბოთ 6–ზე ნაკლები ყველა გამყოფი 1+2+3=6
28=1+2+4+7+14.
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.
სრულყოფილი რიცხვები მათემატიკოსებისათვის დღემდე გამოცანად რჩება. ყველა ცნობილი სრულყოფილი რიცხვი ლუწია. არსებობს თუ არა ასეთი კენტი რიცხვი , ცნობილი არ არის . ასევე უცნობია სასრულია თუ უსასრულო მათი რაოდენობა. ლუწი სრულყოფილი რიცხვების ძიებამ, მეცნიერები მიიყვანა მარტივი რიცხვის ძიების ამოცანამდე. ამ საკითხზე მუშაობდა ფრანგი ფიზიკოსი მერსენი(1588–1648)
ახალი სრულყოფილი რიცხვების ძიება უკვე ელექტრონული გამომთვლელი მანქანების მეშვეობით გრძელდება. ნაპოვნია 30–მდე ასეთი რიცხვი, რომელთაგან უდიდესის, და დღეისათვის ცნობილი უდიდესი სრულყოფილი რიცხვის ჩანაწერი ასი ათასზე(!)მეტი ციფრისაგან შედგება.

                            არითმეტიკის ძირითადი კანონი

რიცხვი 900900 მარტივ მამრავლებად რომ დავშალოთ, გვექნება:
900900=2*2*3*3*5*5*7*11*13. ამ რიცხვის მარტივ მამარავლებად სხვა დაშლა არ არსებობს.
საზოგადოდ ,ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება ჩავწეროთ მარტივი რიცხვების ნამრავლის სახით. ამასთან ეს წარმოდგენა ერთადერთია. ამ დებულებას , მისი განსაკუთრებული მნიშვნელობის გამო. არითმეტიკის ძირითადი კანონიეწოდება.
ჯერ კიდევ დიდი ხნის წინათ ცნობილი იყო , რომ მარტიხი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა, ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ(ჩვ.წ–მდე III)ს. თავის ,,საწყისებში დაამტკიცა ,რომ არ არსებობს უდიდესი მარტივი რიცხვი. მას შემდეგ მრავალი მეცნიერი იკვლევდა ამ რიცხვებებს, მაგრამ მათ შესახებ ბევრი რამ დღესაც არ არის ცნობილი.
მარტივი რიცხვები ისე უცნაურადაა განლაგებული ნატურალური რიცხვების მიმდევრობაში ,რომ მათემატიკოსებს არ ჰქონდათ იმედი ისეთი ფორმულის პოვნის ,რომელიც ყველა მარტივ რიცხვეს მოგვცემდა. ამიტომ დაისახეს მარტივი მიზანი შეექმნათ ისეთი ფორმულა , რომელშიც n–ის ნატურალური მნიშვნელობისთვის მიიღებდნენ მარტივ რიცხვს.ერთ–ერთი პირველი იყო ფრანგი მათემატიკოსი პიერ ფერმა(1601–1665). მან მათემატიკოსებს შესთავაზა ორწევრი . n–ის ზოგი ერტი მნიშვნელობისთვის იგი, მართლაც მარტივ რიცხვს იძლეოდა, მაგრამ n=5 , მიიღება შედგენილი რიცხვიეს შენიშნა ლეონარდ ეილერმა. შემდეგ ამ რიცხვებს ფერმასრიცხვები უწოდეს. ეილერმა შეადგინა გამოსახულების ეს გამოსახულებაც საკმაოდ ბევრი მნიშვნელობისთვის გვაძლევს მარტივ რიცხვს, მაგრამ როცა n==41 შედგენილ რიცხვს.
შემდეგ ასეთი ფორმულის შექმნის ცდას თავი მიანებეს. დღემდე არ არის გარკვეული ნატურალურ რიცხვების მიმდევრობაში მარტივ რიცხვთა განაწილების საკითხი.იგი არავითარ კანონზომიერებას არ ექვემდებარება. ნატურალურ რიცხვთა მიმდევრობაში არის ადგილი სადაც მარტივი რიცხვები ხშირად გვხვდება, მაგრამ არის ადგილები, სადაც ასეთი რიცხვები ძალზე იშვიათია.
1952 წ რუსმა მათემატიკოსმა პაფნუტი ჩებიშევმა დაამტკიცა ფრანგი მათემატიკოსის ჟოზეფ ლუი ფრანსუა ბერტრანის (1822–1900) ვარაუდი, რომ ნებისმიერი, ერთზე მეტი ნატურალური n რიცხვისთვის –n და 2n რიცხვებს შორის ყოველთვის არას მარტივი რიცხვი.
ასერომ , მარტივი რიცხვების შესახებ მრავალი საკითხი დღემდე ბურუსითაა მოცული.

                                     საკვანძო რიცხვები.

თვლის ნებისმიერ სისტემაში ესა თუ ის სიმბოლო (იეროგლიფი, ნახატი, ნიშანი ან სიტყვა) გარკვეულ რიცხვს აღნიშნავს. ამ რიცხვებს საკვანძო რიცხვები ეწოდება. ყველა სხვა რიცხვი მიიღება საკვანძო რიცხვებზე მოქმედების შედეგად.
თვლის სისტემები ერთმანეთისაგან განსხვავდება საკვანძო რიცხვების შერჩევით და დანარჩენი რიცხვების შექმნის ხერხებით. მაგალითად, ძველი ეგვიპტელების ნუმერაციაში საკვანზო რიცხვებია: 1;10;100;1000;10 000;100 000 და 1 000 000.ბაბილონელებისათვის საკვანძო რიცხვებია: 1;10;60; ძველი რომაელებისათვის –1;5;10;50;100;500;1 000; ძველი ბერძნებისათვის– 1;5;10;100;1 000;10 000 და ა.შ.